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一元二次方程根与系数的关系详解

时间:2019-06-27 00:50:12    来源:     浏览次数:0    

一、知识要点:

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基

础,应引起同学们的重视.

一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a 0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2

的整式方程.

解一元二次方程的基本思想方法是通过 降次 将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解

法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.

二、方法、例题精讲:

1、直接开平方法:

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n 0)的

方程,其解为x=m .

例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11 0,所以

此方程也可用直接开平方法解.

(1)(3x+1)2=7

(3x+1)2=5

3x+1= (注意不要丢解)

x=

原方程的解为x1=,x2=

(2) 9x2-24x+16=11

(3x-4)2=11

3x-4=

x=

原方程的解为x1=,x2=

2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a 0)

先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

将二次项系数化为1:x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

当b2-4ac 0时,x+ =

x=(这就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0

将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1:x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2

配方:(x-)2=

直接开平方得:x-=

x=

原方程的解为x1=,x2= .

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac 0时,把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac 0)就可得到方程的根.

例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5

将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0

a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4 2 5=64-40=24 0

x= = =

原方程的解为x1=,x2= .

4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让

两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个

根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

例4.用因式分解法解下列方程:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)

(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)

(x-5)(x+2)=手机上可以赚钱的业务0 (方程左边分解因式)

x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

x1=5,x2=-2是原方程的解.

(2)2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

x1=0,x2=-是原方程的解.

注意:有些淘宝店发货流程同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.

(3)6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

2x-5=0或3x+10=0

x1=, x2=- 是原方程的解.

(4)x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 2 , 此题可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

x1=2 ,x2=2是原方程的解.

小结:

一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般

形式,同时应使二次项系数化为正数.

直接开平方法是最基本的方法.

公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式

法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程

是否有解.

配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方

法之一,一定要掌握好.(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法).

例5.用适当的方法解下列方程.(选学)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差

公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.

(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解.

(3)化成一般形式后利用公式法解.

(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

x1=1,x2=13

(2) x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

x1=-3,x2=1

(3)x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 =12-8=4 0

x=

x1=,x2=

(4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

x1= ,x2=

例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学)

分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我

们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方

法)

[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

x-1=0或2x-3=0

x1=1,x2=是原方程的解.

课外拓展

一元二次方程

一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二

次的整式方程. 一般形式为

ax2+bx+c=0, (a 0)

在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他们做出( )2;再做出 ,然后得出+ 及 - .可见巴比伦人已知道一元二次

方程求根公式.但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的.

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax2=b.

在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式.

希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中

之一.

公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公

式.

在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种

不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等.把二次方程分成

不同形式作讨论,是依照丢番图的做法.阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次

给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识.十六世纪意大利的

数学家们为了解三次方程而开始应用复数根.

韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系.

我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的.我国数学

家还在方程的研究中应用了内插法.

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